2026年5月，国际顶尖数学期刊《Inventiones Mathematicae》发表了一项来自中国研究团队的突破性成果。该研究由清华大学/中国科学技术大学双聘教授马杰，以及清华大学博士生申武杰和中国科学技术大学博士生谢晟捷共同完成。
这项工作对1947年由数学家Erdős提出的概率方法进行了指数级的改进，该方法是概率组合学的基石，在此后的近80年间，其局限性未能被根本性突破。
80年未变的基准
Erdős的概率方法，以一种直观的方式——抛掷硬币来为完全图的边着色，奠定了概率组合学的基础。例如，这一方法证明了在足够大的社交网络中，必然存在一个完全相互认识或完全互不认识的群体，且“足够大”的规模至少是指数级的。
尽管近年来在理论的上限方面取得了进展，2023年甚至将上限从约4提升至3.7992，但下限的基数自Erdős提出以来，近80年都未曾改变。直到马杰团队提出了一个基于球面的新颖思路。
硬币方法的局限性
Erdős的硬币着色法，其特点是颜色分配完全随机且各边独立。这种简洁性便于分析，但未能利用几何结构来抑制单色团的形成，从而在信息利用上存在效率低下之处。
申武杰提出了一个名为“随机球图”的模型，将节点随机置于高维球面，并根据点对间的距离对边进行着色。高维球面的一个奇特性质是，当维度升高时，绝大多数点会聚集在赤道附近，导致随机选择的两个点之间的夹角趋近于90度。这使得点对距离集中在一个狭窄的范围内，着色过程不再是完全随机，而是受到球面几何对称性的精确调控，这种结构天然地限制了大面积单色团的出现。
然而，球面模型在降低红色团概率的同时，也相应地增加了蓝色团的概率。研究团队在小规模图上进行了验证，结果表明，即使考虑到这种取舍，无团着色的概率依然大于零，整体收益超过了代价。
随后，他们利用高维球面独特的几何性质，将近对角线Ramsey数r(k, 2k)的下界底数，从Erdős硬币方法给出的黄金比例(1+√5)/2 ≈ 1.618，提升了约10⁻²¹。虽然绝对数值的增量微乎其微，但对于指数级增长的Ramsey数而言，这种在底数上的提升，在k趋于无穷时，将产生巨大的影响。
近80年来，没有人能够撼动这个底数。马杰团队不仅微小地提升了数值，更重要的是证明了Erdős的硬币方案并非最优，随机球图在结构上优于纯随机着色，预示着概率方法存在更大的提升空间。这是该领域自Erdős以来首次实现指数级改进，并提供了一种超越硬币方法的途径。需要指出的是，该方法在蓝色团概率大于红色团时有效，对于两种颜色禁忌团大小相同的对角线情形，其优势则会消失。
学术界反响热烈
该研究成果于2025年7月首次在arXiv上公开，不到一周，组合数学领域的知名学者Gil Kalai便在博客上撰文称赞该模型“具有相当的独立研究价值”。剑桥大学的Julian Sahasrabudhe也表示，这项技术“一直藏在眼皮底下”，并对一个熟悉的方法能够解决一个长期存在的问题感到惊喜。
2025年12月，马杰在UCLA的合作导师Benny Sudakov及其学生的研究进一步表明，使用高斯随机图也能达到类似效果，无需球面模型，这为该方法的推广简化了条件。2026年初，研究成果被推广至多色Ramsey数。最终，该论文于2026年5月正式发表于《Inventiones Mathematicae》。
清华“00后”博士生的洞见
马杰，现任清华大学丘成桐数学科学中心教授及中国科学技术大学教授，在组合数学领域享有盛誉，曾获国家优青、杰青及SIDMA编委等殊荣，并于2020年荣获ICA Hall Medal。
谢晟捷，高中时期已在数学竞赛中崭露头角，并以优异成绩进入中国科学技术大学少年班。本科期间，他获得了丘赛团体铜牌，并于2023年直博，师从马杰。
申武杰，作为一名“00后”博士生，目前在清华大学丘成桐数学科学中心攻读博士学位，师从丘成桐。他在高中时期获得CMO三等奖，本科就读于北京大学数学学院，期间在多项重要数学竞赛中获奖。2022年，他进入清华大学攻读博士学位。在接触Ramsey理论之前，申武杰的研究方向主要集中在几何与拓扑领域。
2024年春季，申武杰偶然阅读到一篇关于Ramsey数的论文，被该领域吸引，开始探索是否存在比Erdős硬币法更有效的随机模型。同年秋季，他将这一想法与马杰分享，谢晟捷也加入了研究团队。三人耗费一年时间，完成了长达40页的详细计算和证明。马杰表示，团队很幸运，付出的努力得到了回报，但过程十分艰辛。
人工智能与人类创造力
与该论文发表同期，DeepMind公布了其AI项目AlphaProof Nexus的成果，该项目在353个Erdős开放问题中解决了9个，并证明了44个OEIS猜想，所有结果均通过Lean形式化验证。其中部分问题已悬置56年。AI通过迭代搜索证明路径来解决问题。
然而，正如陶哲轩所指出的，AI擅长在已知框架内进行搜索匹配，但原创性思维仍是其弱项。马杰团队的工作，并非解决Erdős提出的某个具体问题，而是对Erdős本人发明的方法进行了升级。AI从Erdős的遗产中“拆解”了部分成果，而马杰团队则“重铸”了他最核心的工具。在需要创造性洞察的数学前沿领域，人类的独特贡献依然不可替代。
结语
1947年，Erdős以一枚硬币开创了概率组合学。近80年后，中国一位“00后”博士生提出的“将节点置于球面”的直觉，为这一领域带来了革命性的进展。
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